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每日一题[3815]暗恋者
n(n∈N∗,n⩾3)个人相互传球,传球规则如下:若球由甲手中传出,则甲传给乙;否则,传球者等可能地将球传给另外的 n−1 个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出,第 k(k∈N∗)次传球后,球在甲手中的概率记为 An(k),球在乙手中的概率记为 Bn(k).
1、求 A5(2),B5(2),A5(3),B5(3);
2、求 An(k); 比较 Bn(k+1) 与 n−2n−1An(k) 的大小,并说明理由.
每日一题[3814]放缩处理指对
已知函数 f(x)=aln(x+1)−xex+1.
1、当 a<0 时,求 f(x) 的单调区间;
2、若函数 f(x) 存在正零点 x0,
① 求 a 的取值范围;
② 记 x1 为 f(x) 的极值点,证明:x0<3x1.
每日一题[3813]换元与估计
设函数 f(x)=e2x+lnx(x>0).
1、求 f(x) 的单调区间;
2、已知 a,b∈R,曲线 y=f(x) 上不同的三点 (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3)) 处的切线都经过点 (a,b).证明:
① 若 a>e,则 0<b−f(a)<12(ae−1);
② 若 0<a<e,x1<x2<x3,则 2e+e−a6e2<1x1+1x3<2a−e−a6e2.
每日一题[3812]分析通项
设函数 f(x)=x1+x−ln(1+x),g(x)=ln(1+x)−bx.
1、求函数 f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程;
2、是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在 (0,+∞) 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由;
3、证明:不等式 1n+lnne<n∑k=1kk2+1⩽12+lnn.
每日一题[3811]级数大杂烩
已知数列 {an},a1=9,an+1=3an+6⋅3n,Sn 是 {an} 的前 n 项和.
1、证明:数列 {an3n} 为等差数列;
2、求 Sn;
3、若 bn={2nSn−n,n 为奇数,(−1)n2+1⋅2⋅3n+1Sn,n 为偶数, 记数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn,证明:T4n<1.参考数据:ln2≈0.69.
每日一题[3810]发散级数
若数列 {an} 满足 an+1=√a2n+d(n∈N∗).其中 d≠0,an>0,则称数列 {an} 为 M 数列.
1、已知数列 {an} 为 M 数列,当 d=1,a1=1 时.
① 求证:数列 {a2n} 是等差数列,并写出数列 {an}(n∈N∗) 的通项公式;
② Tn=2n∑k=1((a4k+a2k)(−1)k)(n∈N∗).求 n∑k=11Tk(n∈N∗).
3、若 {an} 是 M 数列(n∈N∗),且 d>0,证明:存在正整数 n.使得 n∑i=11ai>2024.