将一段长为 $1$ 的绳子对折 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$），然后从中间剪断，可以得到_____段绳子，它们的长度分别是_____．
有下列命题：
① $\exists x\in A,x\in B$；
② $\exists x\in A,x\notin B$；
③ $\forall x\in A,x\in B$；
④ $\forall x\in A,x\notin B$．
$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____；
$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，以右焦点 $F_2$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）与双曲线交于第一象限的 $P$ 点，若 $|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|$，则双曲线的离心率 $e=$ （ ）
A．$2$
B．$5$
C．$\dfrac {\sqrt 2+1}2$
D．$\dfrac {\sqrt 5+1}2$
在 \(\triangle ABC\) 中，角 \(A,B,C\) 所对的边为 \(a,b,c\)，有\[\begin{split} a^2=&b^2+c^2-2bc\cos A,\\ b^2=&a^2+c^2-2ac\cos B,\\ c^2=&a^2+b^2-2ab\cos C.\end{split}\]
2025年高考全国II卷 #19
甲、乙两人练习乒乓球，每个球胜者得 $1 $ 分，负者得 $ 0$ 分．设每个球甲胜的概率为 $p$（$\dfrac{1}{2}<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立．对正整数 $k \geqslant 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $ 2 $ 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2 $ 分的概率．
1、求 $p_3, p_4$（用 $p$ 表示）；
2、若 $\dfrac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$；
3、证明：对任意正整数 $m$，均有 $p_{2 m+1}-q_{2 m+1}<p_{2 m}-q_{2 m}<p_{2 m+2}-q_{2 m+2}$．
